Iloczyn mieszany

Definicja 1: Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów \( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \) nazywamy liczbę \( \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \) określoną wzorem

(1)

\( \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right):=\left( \overrightarrow {u}\times\overrightarrow{v}\right) \circ\overrightarrow{w}\text{.} \)

Łatwo sprawdzić, że iloczyn mieszany wektorów jest wyznacznikiem macierzy, której wiersze są współrzędnymi tych wektorów, tj. dla \( \overrightarrow{u}=\left( u_{x},u_{y},u_{z}\right) \) , \( \overrightarrow{v}=\left( v_{x},v_{y},v_{z}\right) \) oraz \( \overrightarrow{w}=\left( w_{x},w_{y},w_{z}\right) \) :

(2)

\( \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left\vert \begin{matrix}u_{x} & u_{y} & u_{z}\\v_{x} & v_{y} & v_{z}\\w_{x} & w_{y} & w_{z} \end{matrix}\right\vert . \)

Przykład 1: Wyznaczanie iloczynu mieszanego

Dla wektorów \( \overrightarrow{u}=\left( 1,-2,-1\right) \), \( \overrightarrow{v}=\left( 3,2,1\right) \) oraz \( \overrightarrow{w}=\left(1,-1,0\right) \) mamy

\( \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left\vert \begin{matrix}1 & -2 & -1\\ 3 & 2 & 1\\ 1 & -1 & 0\end{matrix}\right\vert =4\text{.} \)

Własności i zastosowanie iloczynu mieszanego

Twierdzenie 1: Własności iloczynu mieszanego

Iloczyn mieszany spełnia następujące warunki:

dla \( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \):

\( \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) =-\left( \overrightarrow{v},\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right) =\left( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}\right); \)

dla \( \alpha\in\mathbb{R} \), \( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \)

\( \alpha\cdot\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) =\left( \alpha\cdot\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) =\left( \overrightarrow{u},\alpha\cdot\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) =\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\alpha\cdot\overrightarrow{w}\right); \)

dla \( \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \): \( \left( \overrightarrow{u_{1}}+\overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) =\left( \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) +\left( \overrightarrow{u_{2}},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right); \)
dla \( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in\mathbb{R}^{3} \):

\( \left\vert \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \right\vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \cdot\left\Vert\overrightarrow{w}\right\Vert. \)

Twierdzenie 2: Zastosowanie iloczynu mieszanego

Objętość \( V_{r} \) równoległościanu rozpiętego przez wektory \( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \) (zob. Rys. 1a) wyraża się wzorem \( [V_{r}=\left\vert \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) \right\vert . \)

Objętość \( V_{c} \) czworościanu rozpiętego przez wektory \( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \) (zob. Rys. 1b) wyraża się wzorem

\( V_{c}=\frac{1}{6} \left\vert \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w} \right) \right\vert. \)

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów.

Przykład 2:

Obliczymy długość \( h \) wysokości czworościanu o wierzchołkach \( A=\left( 0,0,0\right) \), \( B=\left( 1,0,0\right) \), \( C=\left( 0,2,3\right) \), \( D=\left( 3,4,5\right) \) opuszczonej z wierzchołka \( D \).
Objętość \( V \) tego czworościanu wyraża się wzorem.

\( V=\frac{1}{3}P_{\triangle ABC}\cdot h, \)

gdzie \( P_{\triangle ABC} \) to pole trójkąta o wierzchołkach w punktach \( A,B,C \). Mamy

\( \overrightarrow{AB}=\left( 1,0,0\right) ,\overrightarrow{AC}=\left( 0,2,3\right) ,\overrightarrow{AD}=\left(3,4,5\right) \)

oraz

\( \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left\vert \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 3 \end{matrix}\right\vert =\left( 0,-3,2\right) . \)

Stąd oraz z własności iloczynu wektorowego otrzymujemy

\( P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\left\Vert \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\Vert =\frac{1}{2}\cdot\left\Vert \left(0,-3,2\right) \right\Vert =\frac{\sqrt{13}}{2}\text{.} \)

Poszukiwaną wysokość \( h \) obliczymy z wynikającego z twierdzenia równania

\( \frac{1}{3}P_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{1}{6}\left\vert \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\right\vert. \)

Ponieważ

\( \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right)= \left\vert \begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 \end{matrix} \right\vert =-2, \)

zatem ostatecznie otrzymujemy

\( h=\frac{1}{2}\frac{\left\vert \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) \right\vert }{P_{\triangle ABC}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka